Факторизация дробей

Прочитав заголовок, вы, возможно, скажете: "Раскладывать дроби на простые множители? Да как же это?! Такой операции в арифметике нет!". Действительно, такой операции вроде бы и нет, но вспомните, как часто приходится раскладывать на простые множители числитель и знаменатель одной и той же дроби. И чтобы вы не мучились, по отдельности вызывая функцию FactorInteger для числителя и знаменателя, можете вызвать ее для всей дроби. Это ведь так удобно! В каком же виде будет представлено разложение? Почти в том же, что и для целых чисел, но только показатели простых множителей знаменателя будут отрицательными. Вот пример:
Factorlnteger[1952/1921]={{2,5},{17,-1},{61,1},{113,-1}}.
Давайте же теперь испытаем функцию FactorInteger в новой роли:
Do[Print[n,":",Factorlnteger[BernoulliB[n]]], {n,2,102,2}]
Результат, как обычно, представим в виде таблицы. Однако оказывается, что разработанный ранее макрос для преобразования разложения в обычную форму уже не годится. Ведь теперь основания (да и сами показатели) степеней могут быть отрицательными. Поэтому в таких случаях основания нужно взять в круглые скобки. Это учтено в новом макросе.
Sub Factorization() 'Обработка списка множителей Dim strTemp As String Dim Msg, Style, Title, Help, Ctxt, Response, MyString Msg = "Хотите продолжить ?" ' Вопрос Style = vbYesNo + vbCritical + vbDefaultButton2 'Кнопки Title = "Разложение на множители" 'Заголовок окна OptPasteSmartCutPaste = Options. PasteSmartCutPaste Options. PasteSmartCutPaste = False Response = vbYes ' Пока ошибки не обнаружены Selection.Find.ClearFormatting ' Очистка формата в поле поиска With Selection.Find .Text = "{" ' Что ищем - открывающую скобку .Forward = True .Wrap = wdFindContinue .Format = False .MatchCase = False .MatchWholeWord = False - . .MatchWildcards = False .MatchSoundsLike = False .MatchAllWordForm? = False End With Selection.Find.Execute ' Находим открывающую фигурную скобку списка strTemp = Selection.Text If strTemp = "{" Then ' Если нашли скобку, обрабатываем список Selection.Delete Unit:=wdCharacter, Count:=1 ' Удаляем скобку Do ' В цикле обрабатываем все элементы списка Response = Multiplier ' Обработка множителя и его показателя Selection.MoveRight Unit:=wdCharacter, Count:=1, _ Extend:=wdExtend strTemp = Selection.Text ' Выбираем очередной символ If strTemp = "," Then ' Это должна быть запятая Selection.Delete Unit:=wdCharacter, Count:=1 ' Удаляем ее Selection.Font.Reset ' Сбрасываем форматирование Selection.InsertSymbol Font:="Symbol", _ CharacterNumber:=-3916, Unicode:=True ' Знак умножения End If ' Запятую заменили знаком умножения Loop While strTemp = "," And (Response = vbYes) ' Выполняем цикл, пока не обработаем все множители ' или не обнаружим ошибку If strTemp = "}" Then ' Список должен заканчиваться ' закрывающейся скобкой (Selection.Delete Unit:=wdCharacter, Count:=1 ' Удаляем скобку Else Response = MsgBox("***0шибка: в конце списка нет } ... " _ + Msg, Style, Title) If Response = vbYes Then ' Пользователь выбрал Yes (Да) MyString = "Yes" ' Запомним, что выбрал пользователь Else ' Пользователь выбрал No (Нет) MyString = "No" . ' Запомним, что выбрал пользователь End If End If End If Options.PasteSmartCutPaste" = OptPasteSmartCutPaste End Sub Function Multiplier() i ' Обработка множителя (и его степени) 1 Макрос записан 26.10.2003 Яков Шмидский t Dim strTemp As String Dim Msg, Style, Title, Help, Ctxt, Response, MyString Msg = "Хотите продолжить ?" ' Вопрос к пользователю Style = vbYesNo + vbCritical + vbDefaultButton2 ' Кнопки Title = "Очередной множитель: степень простого" ' Заголовок окна Response = vbYes ' Пока ошибки не обнаружены strTemp = Selection.Text ' Выбираем очередной символ Selection.MoveRight Unit:=wdCharacter, Count:=l, Extend:=wdExtend If strTemp = "{" Then ' Если отрывающая скобка - начало множителя Selection.Delete Unit:=wdCharacter, Count:=1 ' Скобку удаляем Selection.Extend Character:="," ' Расширили выделение до , Selection.MoveLeft Unit:=wdCharacter, Count:=1, Extend:=wdExtend ' Отменили выделение , BaseRepresent Selection.MoveRight Unit:=wdCharacter, Count:=1 ' Основание Selection.MoveRight Unit:=wdCharacter, Count:=l, Extend:=wdExtend strTemp = Selection.Text ' Основание отделяется , от показателя If strTemp = "," Then ' Разделитель нашли PowExp ' Обрабатываем показатель Selection.MoveRight Unit:=wdCharacter, Count:=l, _ Extend:=wdExtend strTemp = Selection.Text ' Этот символ завершает множитель If strTemp = "}" Then ' Это должна быть закрывающая скобка Selection.Delete Unit:=wdCharacter, Count:=1 ' -Удалить ее Else ' Но ведь в коде же должна быть закрывающая скобка Response = MsgBox("***0шибка в сомножителе: нет } ... " _ + Msg, Style, Title) If Response = vbYes Then ' Пользователь выбрал Yes (Да) MyString = "Yes" ' Запомним, что выбрал пользователь Else' Пользователь выбрал No (Нет) MyString = "No" ' Запомним, что выбрал пользователь End If End If Else ' Иначе - а где же запятая? Response = MsgBox("***0шибка в сомножителе: нет , ... " _ + Msg, Style, Title) If Response = vbYes Then ' Пользователь выбрал Yes (Да) MyString = "Yes" ' Запомним, что выбрал пользователь Else ' Пользователь выбрал No (Нет) MyString = "No" ' Запомним, что выбрал пользователь End If End If End If Multiplier = Response End Function Sub PowExp() t ' Обработка показателя t Dim strTemp As String Selection ..Delete Unit :=wdCharacter, Count :=1 ' Удаляем символ Selection.Extend Character:="}" ' Расширили выделение до } Selection.MoveLeft Unit:=wdCharacter, Count:=1, Extend:=wdExtend ' Отменили выделение } strTemp = Selection .'Text ' Это и есть показатель If strTemp = "1" Then ' Если показатель равен 1 Selection.Delete Unit:=wdCharacter, Count:=l ' Удаляем его Else ' В противном случае форматируем его как надстрочный With Selection.Font .Superscript = True 'Надстрочный End With Selection.MoveRight Unit:=wdCharacter, Count:=1 Selection.Font.Reset 'Восстановить стиль End If End Sub Sub BaseRepresent() Dim strTemp As String strTemp = Selection.Text ' Основание If Not MultiplierQ(strTemp) Then ' Selection.MoveLeft Unit:=wdCharacter, Count:=l ' Selection.InsertBefore "(" ' Перед основанием вставим символ { Selection.InsertAfter ")" ' А после него вставим символ ) End If End Sub Function MultiplierQ(strTemp) ret = True If Left(strTemp, 1) = "-" Then ret = False MultiplierQ = ret End Function

Этот макрос преобразует представление
{{-1,n},{2,-1},{-3,-m},{5,-1},{7,-1},{11,-1}, {13,-1},{31,-1}, {61,-1},{2003,1},{5549927,8},{109317926249509865753025015237911,1}}
в такой более привычный вид.
(-1)nх2-1х(-3)-mх5-1х7-1х11-1х13-1х31-1х 61-1x2003x55499278Х109317926249509865753025015237911
Теперь, пользуясь результатами и макросом, можем составить таблицу . Если нужно разложить только, например, числители, можно воспользоваться следующей программой:
Do:[Print[n,":",Factorlnteger[Numerator[BernoulliB[n]]]],{n,2,102,2}].
Так как это разложение играет чрезвычайно важную роль в доказательстве Последней теоремы Ферма, представим его, как обычно, в виде таблицы.

Эта таблица заслуживает внимания. Прежде всего нужно заметить, она может оказать неоценимую помощь при поиске больших иррегулярных чисел. (Напомню, что простое число р называется регулярным, если на него не делится ни один из числителей чисел Бернулли В2, В4, ..., Вp-3. В противном случае простое число называется иррегулярным.) Иррегулярные простые числа долгое время были причиной ужасных неприятностей для всех, кто занимался доказательством Последней теоремы Ферма. Дело в том, что для регулярных чисел эта теорема была доказана Куммером еще в 1850 году. Это было настоящее торжество ферматистов! Наиболее отчаянные предположили даже, что число иррегулярных чисел конечно, и, таким образом, им оставалось якобы рассмотреть лишь конечное число случаев! Нужно заметить, что их предположение не было лишено оснований. Действительно, в пределах первой сотни есть всего лишь три иррегулярных числа: 37, 59 и 67. (В этом легко убедиться, просмотрев составленную нами таблицу.) Однако в 1915 году Иенсен довольно просто доказал, что множество иррегулярных чисел бесконечно. Тогда-то ферматисты занялись изучением иррегулярных чисел вплотную. В 1965 году Эйхлер существенно продвинулся в поисках доказательства Последней теоремы Ферма, а десять лет спустя, в 1975 году, Брюкнер ввел индекс иррегулярности числа р — количество числителей чисел Бернулли В2, В4, ..., В^, делящихся на р, — и тем самым придал результатам Эйхлера вполне обозримую форму. Понятно, что интерес к таблицам, подобным составленной нами (не без помощи системы Mathematica), значительно возрос. Однако даже в 1985 году, после очередного всплеска интереса к Последней теореме Ферма, когда она была доказана для "почти всех" натуральных показателей, таблица, помещенная в одном из лучших университетских учебников по теории чисел — в учебнике 3. И. Боревича и И. Р. Шафаревича, была доведена лишь до п = 60. Так что едва ли будет преувеличением утверждение, что с помощью системы Mathematica мы составили таблицу, о которой несколько поколений ферматистов могли только мечтать!

Кроме того, эта таблица поможет нам понять, как система Mathematica обращается с дробями. Если число дробное (а именно такими и являются числа Бернулли с четными индексами), то знак дроби относится к числителю. В этом легко убедиться, просмотрев нашу таблицу. Действительно, как мы видели из таблицы разложения чисел Бернулли Вn на простые множители, числа B4n-1 отрицательны, а числа B4n-2 положительны. Точно так же распределены и знаки числителей в таблице разложения числителей чисел Бернулли Вn.

Итак, с помощью функции FactorInteger можем разлагать на простые множители не только натуральные и отрицательные числа, но и дроби, — иными словами, все рациональные числа. Таким образом, кажется, мы научились применять эту функцию ко всем числам, к которым применимо понятие разложения на простые множители. Но возможности этой функции шире. Она умеет еще кое-что. "Как? Неужели... Разве это мыслимо, разлагать на множители комплексные числа?", — возможно, подумаете вы. И не ошибетесь!

Содержание раздела